mais09
April 2013 dans Analyse
Je cherche la preuve rigoureuse de la limite de $(1 + \frac{x}{n})^n$ qui doit être égale à $\exp(x)$.
Serait-il possible d'avoir un lien vers une preuve rigoureuse ?
Merci.
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Raymond Cordier
April 2013
Tout dépend de ce que l'on suppose connu.
On peut dire : $(1+\frac{x}{n})^{n}=e^{n\ln (1+\frac{x}{n})}$, et comme $n\ln (1+\frac{x}{n})\sim n\frac{x}{n}=x$ quand $n\rightarrow +\infty $, $x$ fixé, c'est bon ... mais ce n'est probablement pas la démonstration souhaitée ... À suivre ...
Bonne journée.
RC -
Nîmes-man
April 2013
Pour rebondir sur la dernière remarque de Raymond Cordier, j'imagine qu'une démonstration niveau TS est attendue.
Commence par déterminer la limite lorsque $h$ tend vers $0$ de $\dfrac{ln(1+h)}{h}$. On reconnaît le taux d'accroissem*nt de la fonction logarithme en 1. On sait que, lorsque $f$ est dérivable, le taux d'accroissem*nt de $f$ en $1$ tend vers $f'(1)$. Ici, on trouve donc $\lim\limits_{h\to 0^+} \dfrac{ln(1+h)}{h} = 1$.
Un changement de variable donne donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n\ ln(1+x/n) = 1$.
On utilise ensuite l'égalité donnée par Raymond Cordier : $ (1+\frac{x}{n})^{n}=e^{n\ln (1+\frac{x}{n})}$. Pour conclure proprement, il faut invoquer la continuité de la fonction exponentielle en $1$, mais j'imagine que ce point est soigneusem*nt caché à nos élèves de TS.
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Amédé
April 2013
Sinon tu peux faire un développement asymptotique de $(1+\frac{x}{n})^{n}$.
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gerard0
April 2013
Mais09,
tant que tu ne donneras pas ta définition de l'exponentielle et ce qui est supposé connu, tu n'auras que des demi-réponses. En voici une autre :
C'est la définition de la fonction exponentielle, donc la preuve est faite.Cordialement.
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JJ
April 2013
Excellente réponse de gerard0 !
Voilà qui me ravi, comme tous les partisans du moindre effort.
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mais09
April 2013
Oui, vous avez raison. La définition est la suivante :
$exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$Merci !
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Raymond Cordier
April 2013
@ jiji
"Voilà qui me ravit", verbe ravir, 2ème groupe.@mais09.
La définition de l'exponentielle ne suffit pas : il faut préciser ce qui a été prouvé ensuite dans le cours. Si l'on a prouvé que la fonction exp est dérivable, et égale à sa dérivée, et strictement croissante, on définit la réciproque ln, et les deux sont C-infinies, et l'on a leur développement limité en 0, et les démonstrations précédentes sont valables.Il me vient une idée. Dans cette optique, il ne me semble pas qu'il soit indispensable d'avoir prouvé que les fonctions exp et ln satisfont à leurs équations fonctionnelles respectives : exp(x+y)=exp(x)exp(y), ln(xy)=ln(x)+ln(y). Ce peut être une méthode pour démontrer ces équations, sans utiliser le produit de Cauchy.
Vrai ou faux ?
Bonne journée.
RC
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aléa
April 2013
\begin{theorem} \label{exp}
{\bf Théorème.} Soit $(A_n)$ une suite d'éléments d'une algèbre de Banach de limite $A$. On a $$\lim_{n\to +\infty}\Big(I+\frac{A_n}n\Big)^n=\exp(A).$$
\end{theorem}
On va s'appuyer sur le lemme suivant, classique et important :
\begin{lemme}
{\bf Lemme.} Soit $u_{k,n}$ une suite doublement indexée d'éléments d'un espace de Banach. On suppose qu'il existe une suite $(u_n)$ et une suite $(\beta_k)$ telles que
\begin{itemize}
\item $\forall n,k\quad \|u_{k,n}\|\le \beta_k$
\item $\sum_{k=0}^{+\infty}\beta_k<+\infty$.
\item Pour tout $k\ge 0$, $\lim_{n\to +\infty} u_{k,n}=u_k$.
\end{itemize}
Alors pour tout $n$ la série de terme général $u_{k,n}$ converge, de même que la série de terme général $u_k$ converge absolument et on a $$\lim_{n\to +\infty} {\sum}_{k=0}^{+\infty} u_{k,n}={\sum}_{k=0}^{+\infty} u_{k}.$$
\end{lemme}
\begin{proof} (du théorème) On pose $$u_{k,n}=
\begin{cases}
\frac{{n\choose k}}{n^k}(A_n)^k & \mbox{si }0\le k\le n \\
0 & \mbox{sinon}
\end{cases}$$ Comme $A_n$ tend vers $A$ elle est bornée par une constante $M$.
Remarquons que $$\frac{{n\choose k}}{n^k}=\frac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{n^k}\frac1{k!}.
$$ On a pour tout $n$ et tout $k$: $\|u_{k,n}\|\le \dfrac{M^k}{k!}$.
Il suffit de vérifier que pour tout entier naturel $k$, $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{{n\choose k}}{n^k}A_n^k= \frac{A^k}{k!}$ et on peut appliquer le lemme pour conclure.
\end{proof} -
PB
April 2013
Aléa : le lemme, c'est une sorte de convergence dominée ?
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aléa
April 2013
Exactement.
Sur R ou C, on peut le voir comme un cas particulier du théorème de convergence dominée, lorsque la mesure est la mesure de comptage. Mais ça se montre facilement à la main.
Les anglo-saxons l'appellent critère M de Weierstrass.
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mais09
April 2013
Merci pour vos réponses.
voilà ce que j'ai trouvé : exponential.
En particulier, il faut voir II-1, II-2 et II-3.
Les idées de corrigé sont dispo ici: corrigé.
ça me parait correcte, juste une question rapide. En général, quel est le résultat mathématique qui permet dire si :$S_n - U_n \rightarrow 0$ et $S_n \rightarrow c $
on a alors $U_n \rightarrow c $ ?
où $c$ est une constante.ça peut être intuitive, mais là, j'aurais besoin de savoir le résultat mathématique utilisé.
Merci
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egoroffski
April 2013
"La somme de deux suites convergentes est convergente, et sa limite est la somme des limites"
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mais09
April 2013
Mais évidemment ! Je ne voyais pas jusque là qu'il fallait plutôt sommer $(S_n - U_n)$ et $U_n$.
Cela faisait longtemps que je n'ai pas eu à faire avec les suites...
Je pense que j'ai enfin la bonne démo !
Merci pour votre aide. -
gai requin
April 2013
Sinon, voilà une approche qu'on pouvait aborder en TS avant qu'on ne change une fois de plus le programme.
Soit $x \in \R$.
On définit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par :
Pour tout $n\in\N$, $u_n=(1+x/n)^n$ et $v_n=(1-x/n)^{-n}$.
On démontre que ces deux suites sont adjacentes et on appelle $\exp(x)$ leur limite commune.
On peut ensuite montrer, non sans mal, que la fonction $\exp$ vérifie le problème de Cauchy $f'=f$ et $f(0)=1$...
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